I sistemi di accordatura

L’accordatura pitagorica

Pitagora disse: “il segreto dell’armonia sta nel magico potere dei numeri”.
Questo concetto si rivelerà vero, solo in luce del fatto che i numeri sono espressione di una grandezza fisica. Sta di fatto, però, che le note che sembrano dare accordi consonanti stanno tra loro in rapporto di numeri interi, con risultati tanto più gradevoli, quanto più i numeri sono piccoli. Proprio sui numeri interi, e più precisamente sui rapporti di quinta perfetta (3/2), di quarta perfetta (2/3) e di ottava (2/1), Pitagora erigerà il suo sistema musicale. La scala pitagorica è costruita salendo per quinte e per quarte (il che corrisponde a scendere per quinte), partendo da una nota, ad esempio il Fa. Ovviamente, le note della scala trovata, si troveranno comprese in ottave sempre maggiori, quindi, per riportare i rapporti nell’ambito di una stessa ottava bisognerà dividere il risultato per 2n, dove n è il numero di ottave percorse. Procedendo in questo modo si crea una sorta di spirale delle quinte, poiché il cerchio non si chiude mai, cioè non ritorna mai alla nota di partenza, ma gli intervalli divengono sempre più piccoli ed inoltre note enarmoniche, come Re# e Mib non coincidono. Ovviamente questa spirale dovrà essere fermata per far sì che vengano definiti dei suoni ai quali attingere per fare musica, con lo stesso approccio con cui vengono create parole dai suoni definiti dall’alfabeto. Ciò porta ad uno svantaggio notevole, cioè quello della creazione di due semitoni, per via della differenza di intervallo tra due note contigue nella scala diatonica, come Mi-Fa (256/243 = 1,0535), e due note accidentate, come Fa e Fa# (2187/2048 = 1,0678), chiamati semitono diatonico e semitono cromatico. Il rapporto tra questi due intervalli è 1,0136 (23,46 cent, arrotondato di solito a 24) e viene detto comma pitagorico. In questa scala i rapporti di terza e di sesta sono molto dissonanti. I rapporti di terza eccedono il valore che dovrebbero assumere, cioè 5/4, di 81/80 = 1,0125 corrispondente a circa 21,5 cent.

 Fa1 Do2Sol2 Re3 La3 Mi4 Si4 
 1/1 (3/2)*1/2 = 3/4 ((3/2)^2)*1/2 = 9/8 ((3/2)^3)*1/4 = 27/32 ((3/2)^4)*1/4 = 81/64 ((3/2)^5)*1/8 = 243/256 ((3/2)^6)*1/8 = 729/512
 Do Re Mi Fa Sol La Si
 1/1 4/3*27/32 = 9/8 4/3*243/256 = 81/64 4/3*1 = 4/3 4/3*9/8 = 3/2 4/3*81/64 = 27/16 4/3*729/128 = 243/128
 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243


Nella seconda riga della tabella troviamo i rapporti delle note, trovate salendo per quinte , rispetto alla nota di partenza. Nella quarta riga troviamo i rapporti delle note della scala diatonica pitagorica, rispetto al Do. Nella quinta riga troviamo i rapporti degli intervalli tra le note della scala diatonica pitagorica.


L’accordatura naturale

Il passo successivo fu compiuto da Tolomeo (Egitto, II secolo a.C.), che si accorse dell’armonia del rapporto di terza maggiore (rapporto di 5/4). Fu generata una scala partendo dal Do, dal quale si generavano Mi e Sol, rispettivamente con un intervallo di terza maggiore e di quinta giusta: le tre note costituiscono un accordo triadico maggiore, il quale è a fondamento dell’armonia nella musica occidentale.
Procedendo per rapporti di terza maggiore, di quarta perfetta e quinta perfetta si può, così, costruire la scala naturale, che verrà usata per molto tempo ancora, almeno fino all’ascesa della polifonia. Infatti, è da notare che la musica greca di quei tempi era sempre monofonica, tranne in alcuni casi in cui due strumenti eseguivano la stessa linea melodica.
La situazione rimase tale fino al Medioevo, tempo della musica liturgica e dei canti gregoriani, i quali erano anch’essi monofonici. Addirittura papa Giovanni XXII dispose un editto in cui si diceva che erano banditi tutti i rapporti tra le note, tranne quelli di quinta giusta, quarta giusta e ottava. Questo perché in quel periodo la musica profana, che prediligeva la polifonia, stava iniziando la sua diffusione.
Nonostante tutto, la storia, con piccoli e graduali cambiamenti, si svolse in modo che questo nuovo sistema musicale potesse diffondersi, contro il volere dei papi. Da esso scaturirono scale, che furono chiamate scale naturali, per un motivo molto semplice: alcuni strumenti a fiato dell’epoca, potevano emettere un suono fondamentale e le sue armoniche, creando intervalli di quinta giusta, quarta giusta, ottava, terza maggiore e terza minore.
Comunque, la scala così costruita avrà un grande difetto, soprattutto nei riguardi dell’armonia: essa presentava due tipi di tono, uno grande ed uno piccoli, con rapporti rispettivi pari a 9/8 e 10/9. Il rapporto tra questi due valori dà il risultato di 81/80, che sarà chiamato comma sintonico o zarliniano (in nome della personalità che diede valore agli studi di Tolomeo ed alla musica di Josquin Després, primo compositore di musica classica). Questo valore può essere visualizzato prendendo in considerazione la successione Do-La-Re-Sol-Do. Questa successione dovrebbe portare alla nota di partenza, ma non è così: infatti, facendo il conto si ottiene (5/3)*(4/3)*(2/3)*(2/3) = 81/80 = 1,0125 cioè il valore del comma sintonico.

 Do-Re Re-Mi Mi-Fa Fa-Sol Sol-La La-Si Si-Do
 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15

Altro grande svantaggio della scala naturale è che le quinte e le quarte non sono tutte perfette. Ciò si accentua ancora di più se la scala viene resa cromatica.


Scala temperata mesotonica o temperamento mesotonico 

Ci furono vari tentativi di costruire strumenti capaci di suonare in tutte le tonalità, addirittura Francisco Salinas, nel Cinquecento, costruì uno strumento con ventiquattro note per ottava: nonostante la possibilità di suonare in più tonalità, ci si accorse che avere a disposizione enormi tastiere non era la direzione giusta. Così furono proposte le scale temperate, con le quali si tentava di limare i valori degli intervalli, così da avere terze e quinte consonanti e, allo stesso tempo, la possibilità di suonare in tutte le tonalità. Uno dei tentativi più importanti fu il temperamento mesotonico. Il temperamento mesotonico prendeva il valore medio dei due intervalli di tono della scala naturale, usando questo nuovo valore come tono. In questo modo il comma sintonico veniva distribuito per quarti del suo valore. Se questa scala diviene cromatica, vediamo che due semitoni non danno il valore di un tono intero: ciò determina una notevole differenza di frequenza tra note enarmoniche. 

 Do Re Mi Fa Sol La Si
 0 192 386 503,5 696,5 889,5 1082,5
 0 -11 0 +5,5 -5,5 +5,5 -5,5
 0 -11 -22 +5,5 -5,5 -17,5 -27,5

Nel secondo rigo troviamo i valori in cent dei rapporti, rispetto alla nota di partenza, del temperamento mesotonico. Nel terzo rigo troviamo la differenza tra i suddetti valori e quelli della scala naturale. Nell’ultimo rigo troviamo le differenze tra i valori del temperamento mesotonico e quello pitagorico. 


Il temperamento equabile a 12 note (scala ben temperata)

Il temperamento equabile è il sistema musicale tutt’oggi usato dalla musica occidentale. In una fase iniziale esso veniva rifiutato dai musicisti, che lo trovavano molto meccanico; inoltre, gli si accusava di far perdere le peculiarità timbriche ad una scala suonata in una tonalità. Questa temperamento divide l’ottava in undici note, permettendo di avere la miglior approssimazione possibile (1%) degli intervalli consonanti col minor numero di note. In questo caso ogni semitono varrà 100 cent, mentre il tono ne varrà 200. Così, il rapporto tra un semitono ed il successivo, sarà sempre pari a 12√2 = 1,059466. La frequenza delle note enarmoniche coinciderà.